mns2012 (mns2012) wrote in biosemiotics,
mns2012
mns2012
biosemiotics

Category:

Наглядный пример проверки ньютоновской механики по следствиям

Предыстория. На страницах журнала livelogic недавно развернулась дискуссия на тему, содержит ли ньютоновская механика какие-либо лишние сущности и являются ли законы Ньютона законами, которые можно было бы проверить по следствиям из них.

livelogic:



В этой записке рассмотрен пример из теоретической механики, в котором показывается вполне осязаемый эффект неинерциальности системы отсчёта. Этот механический эффект при желании на практике можно воочию наблюдать и замерить.

Представим себе горизонтальный гладкий стержень длиной 2L, который может вращаться вокруг вертикальной оси. К стержню прикреплен груз массой m, который может скользить вдоль него, будучи связан со cтержнем двумя пружинами жесткости c, как показано на рис.1.

Рис. 1. Движение груза складывается из переносного вращения гладкого стержня вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью ω и колебаний вдоль оси стержня.

Вспомним второй закон Ньютона, справедливый в инерциальных системах отсчёта:

Масса грузика, помноженная на вектор ускорения грузика, есть векторная сумма всех действующих на него сил.

ma = ∑ Fi

Эта запись интерпретируется в механике не как определение силы, а как отражение следующей природной закономерности: эффект механического взаимодействия между материальными телами и/или телами и полями состоит в изменении скоростей тел, причём величина указанного механического воздействия на тело со стороны внешнего мира пропорциональна произведению массы тела и его абсолютного ускорения.

Вспомним теперь, что в случае неинерциальных систем отсчёта (систем отсчёта, движущихся с ускорением относительно некоторой неподвижной системы отсчёта) мы должны учесть переносное и кориолисово ускорения. Эти ускорения и соответствующие им силы инерции в инерциальных системах отсчёта равны нулю.

Поскольку в нашем примере стержень вращается с постоянной угловой скоростью ω, система отсчёта, связанная со стержнем, не является инерциальной, что мы обязаны учесть. Неинерциальность систем отсчёта не эзотерика и не фантазия, а реальный феномен, который можно наблюдать. Покажем это ниже. Для этого рассмотрим относительное движение груза вдоль стержня и выясним, как оно меняется в случае ω > 0 по сравнению со случаем ω = 0.

Раскладываем вектор абсолютного ускорения груза на сумму относительного, переносного и кориолисова.

mar + mae + mac = ∑ Fi

Перепишем это с использованием сил инерции, направленных против соответствующих им векторов ускорений:

mar = ∑ Fi + Fe + Fc

Относительное движение груза вдоль оси y в проекции на эту ось, таким образом, имеет вид:

my" = -Fупр + Fe,             (1)

где переносная сила инерции Fe = mω2(y + L) учитывает влияние на относительное движение точечной массы перемещения подвижной системы отсчёта (вращения горизонтального стержня вокруг оси z c постоянной угловой скоростью). Кориолисова сила инерции Fc не участвует в уравнении (1), поскольку проекции на ось y она не даёт. Наконец, сила упругости Fупр = 2cy; двойка появляется вследствие совместного действия обеих пружин.

Приведём (1) к привычному в теории дифференциальных уравнений виду, подставив выражения для силы упругости и переносной силы инерции и разделив обе части уравнения на m. Получим:

у" + (2c/m - ω2) y = ω2L.     (2)

Из теории дифференциальных уравнений мы знаем, что это д.у. описывает гармонические колебания, причём множитель перед y есть квадрат круговой частоты.

Решение неоднородного дифференциального уравнения (2) имеет вид:

y = A sin (kt + φ) + Δ,     (3)

где первое слагаемое в правой части -- это общее решение однородного д.у., второе соответствует частному решению неоднородного д.у. y = Δ; частота колебаний грузика относительно стержня k = (2c/m - ω2)1/2.

Первое слагаемое в правой части уравнения (3) соответствует колебаниям груза относительно стержня в случае ω = 0. Вращение стержня с постоянной угловой скоростью ω приводит к появлению смещения Δ груза по оси стержня в сторону от оси вращения. Относительное колебательное движение груза будет происходить относительно точки на оси стержня, расположенной на расстоянии не L от точки O', как в случае ω = 0, а L + Δ.

Значение Δ можно получить, подставив частное решение y = Δ в (2). Получим:

Δ = L /[2c/(mω2) - 1],     (4)

где L -- половина длины стержня.

Отметим, что решение (3) и выражение (4) имеют смысл только при условии ω2 < 2c/m. При ω2 ≥ 2c/m движение не будет колебательным. Положим, что выполняется ω2 < 2c/m. Тогда при увеличении угловой скорости вращения стержня дробь 2c/(mω2) > 1 в выражении (4) будет стремиться к 1; как следствие, знаменатель (4) будет уменьшаться, что повлечёт за собой увеличение Δ.

И, наконец, главное.

Величину Δ отклонения грузика по оси стержня вследствие неинерциальности системы отсчёта, связанной со стержнем, можно опытно замерить и сравнить с расчётной.

Представленный здесь пример -- не что иное, как иллюстрация того самого следствия, по которому можно экспериментально убедиться в справедливости законов механики Ньютона. Таким образом, она является верифицируемой и никаких лишних сущностей не содержит.
Tags: механика, философия науки
Subscribe

  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic
  • 0 comments